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文學(xué)家們用文字，音樂(lè)家們用旋律，至少這些還是我們可以理解的，周圍一堆數(shù)學(xué)高手，好奇那些看著乏味的數(shù)學(xué)家們會(huì)如何表白呢？

據(jù)說(shuō)在1650年的斯德哥爾摩街頭，笛卡爾52歲時(shí)邂逅了18歲的瑞典公主克里斯汀，他成了公主的數(shù)學(xué)老師。

后來(lái)，笛卡爾被流放回法國(guó)，總共給公主寄出過(guò)13封情書，也就是在最后一封信中，只有短短的一個(gè)數(shù)學(xué)公式：r = a(1-sinθ)

而這位公主呢，她恰好是個(gè)低調(diào)的數(shù)學(xué)迷，她一眼就看破了其中真意，于是優(yōu)雅的在紙上，在直角坐標(biāo)系中將曲線畫了出來(lái)，于是一個(gè)心形圖案躍然紙上。

這封享譽(yù)世界的另類情書，至今，還保存在歐洲笛卡爾的紀(jì)念館里。浪不浪漫！有沒(méi)有一種數(shù)學(xué)家獨(dú)特的浪漫，是不是另一種不同的美！是不是對(duì)數(shù)形結(jié)合有了一個(gè)感性的認(rèn)識(shí)？

具體講數(shù)形結(jié)合思，想就不得不再說(shuō)道上文中的——“笛卡爾”，自從歐幾里德的《幾何原本》問(wèn)世以來(lái)，人們一直把代數(shù)限定在研究數(shù)及其關(guān)系的范疇內(nèi)，把幾何限定在研究位置和圖形的范疇內(nèi)。

代數(shù)和幾何截然分家持續(xù)了幾千年，猶如兩座高山被萬(wàn)丈深淵分割，連接代數(shù)和幾何的橋梁將“數(shù)”和“形”緊密聯(lián)系在一起的科學(xué)就是笛卡兒創(chuàng)立的坐標(biāo)幾何學(xué)，數(shù)形結(jié)合思想就此產(chǎn)生。

數(shù)學(xué)思想方法可以說(shuō)是數(shù)學(xué)的靈魂和精髓，而數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)解題當(dāng)中最常用、最重要的數(shù)學(xué)思想方法之一，也是初中學(xué)生必須嫻熟掌握的數(shù)學(xué)技能之一。

數(shù)與形是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最古老、最基本的元素，是數(shù)學(xué)大廈深處的兩塊基石，所有的數(shù)學(xué)問(wèn)題都是圍繞數(shù)和形的提煉、演變、發(fā)展而展開(kāi)的：每一個(gè)幾何圖形中都蘊(yùn)藏著一定的數(shù)量關(guān)系，而數(shù)量關(guān)系又常?？梢酝ㄟ^(guò)圖形的直觀性作出形象的描述。

因此，在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，常常根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，將數(shù)的問(wèn)題利用形來(lái)觀察，提示其幾何意義；而形的問(wèn)題也常借助數(shù)去思考，分析其代數(shù)含義。

如此將數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙地結(jié)合起來(lái)，并充分利用這種“結(jié)合”，尋找解題思路，使問(wèn)題得到解決的方法。

簡(jiǎn)言之，就是把數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和空間形式相結(jié)合起來(lái)加以考察的處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，稱之為數(shù)形結(jié)合的思想方法。

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō):“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬(wàn)事休”。

數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來(lái), 通過(guò)"以形助數(shù)"或"以數(shù)解形"即通過(guò)抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的。

數(shù)形結(jié)合的思想方法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主線之一，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想解題，不僅直觀易于尋找解題途徑，而且能避免繁雜的計(jì)算和推理，簡(jiǎn)化解題過(guò)程。具體可以解決以下問(wèn)題:

解決函數(shù)、方程與不等式、三角函數(shù)、線性規(guī)劃、數(shù)列、解析幾何、立體幾何、絕對(duì)值、分?jǐn)?shù)應(yīng)用等問(wèn)題。

在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問(wèn)題時(shí)，要注意三點(diǎn)：

1、要徹底明白一些基礎(chǔ)概念和運(yùn)算的幾何意義以及函數(shù)圖象的代數(shù)特征；

2、恰當(dāng)設(shè)未知數(shù)建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；

3、正確確定未知數(shù)的取值范圍。

作為一種數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用大致又可分為兩種情形：

一是借助于數(shù)的精確性來(lái)闡明形的某些屬性；
二是借助形的幾何直觀來(lái)闡明數(shù)間某種關(guān)系。

換句話說(shuō)，數(shù)形結(jié)合包括三個(gè)方面：以數(shù)化形、以形變數(shù)、形數(shù)互變。

由于“數(shù)”和“形”是一種對(duì)應(yīng)，有些數(shù)量比較抽象，我們難以把握，因此我們可以把“數(shù)”的對(duì)應(yīng)“形”找出來(lái)，利用圖形來(lái)解決問(wèn)題。

雖然形有形象直觀的優(yōu)點(diǎn)，但在定量方面還必須借助代數(shù)的計(jì)算，充分利用圖形的性質(zhì)或幾何意義，把“形”正確表示成“數(shù)”的形式，進(jìn)行分析計(jì)算。

在有些數(shù)學(xué)問(wèn)題中不僅僅是簡(jiǎn)單的“以數(shù)變形”或“以形變數(shù)”而是需要形數(shù)互相變換，不但要想到由形的直觀變?yōu)椤皵?shù)”的嚴(yán)密還要由“數(shù)”的嚴(yán)密聯(lián)系到"形"的直觀。

總之，數(shù)形結(jié)合是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀圖形結(jié)合起來(lái)，不僅能直觀地發(fā)現(xiàn)解題的途徑，而且能避免復(fù)雜的計(jì)算與推理，大大簡(jiǎn)化解題的過(guò)程。

在初中數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想貫穿整個(gè)教材的始終，諸如：在學(xué)習(xí)二次函數(shù)、代數(shù)、三角形等問(wèn)題中都運(yùn)用到了數(shù)與形狀的結(jié)合。

可以說(shuō)數(shù)形結(jié)合的思想方法是解決初中數(shù)學(xué)問(wèn)題乃至高中、大學(xué)、等等數(shù)學(xué)問(wèn)題的一個(gè)通法，運(yùn)用一秒存乎一心。

在做題中，要重視“數(shù)形結(jié)合”的思維訓(xùn)練，只要與“形”沾得上一點(diǎn)邊，就應(yīng)該根據(jù)題意畫出草圖來(lái)分析一番。

這樣做，不但直觀，而且全面，整體性強(qiáng)，容易找出切入點(diǎn)，對(duì)解題大有益處。

下面，青果教育研究院院長(zhǎng)常性軍老師結(jié)合具體考點(diǎn)，針對(duì)“數(shù)形結(jié)合”思想的具體運(yùn)用，特別設(shè)計(jì)了這些經(jīng)典題型，與你分享。希望同學(xué)們可以認(rèn)真理解，做一道題，學(xué)會(huì)一類題，一步行，千里亦能行。